Question

10．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所有棱長(zhǎng)均為a，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠DAB=60°，則下列結(jié)論正確的是①②④⑤（寫出所有正確的結(jié)論的編號(hào)）．
①平面A₁BD∥平面CB₁D₁；
②四邊形BDD₁B₁為正方形；
③點(diǎn)A到平面BDD₁B₁的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
④點(diǎn)A₁在平面BDC₁上的射影為△BDC₁的垂心；
⑤平面A₁BD與平面BDD₁B₁將四棱柱分成從小到大三部分的體積比為1：2：3．

Answer 1

分析 由A₁D∥B₁C，A₁B∥D₁C，推導(dǎo)出①正確；由A₁-ABD是正四面體推導(dǎo)出②正確；由A₁-BDD₁B₁是正四棱錐，推導(dǎo)出③錯(cuò)誤；由三棱錐C₁-A₁BD為正三棱錐，推導(dǎo)出④正確；由A₁-ABD占總體的$\frac{1}{6}$，BDC-B₁D₁C₁占總體的$\frac{1}{2}$，A₁-BDD₁B₁占總體的$\frac{1}{3}$，推導(dǎo)出⑤正確．

解答 解：對(duì)于①：由圖得A₁D∥B₁C，A₁B∥D₁C，
∴平面A₁BD∥平面CB₁D₁，故①正確；
對(duì)于②：∵A₁-ABD是正四面體，∴AA₁⊥BD，
∴DD₁⊥BD，∴四邊形BDD₁B₁為正方形，故②正確；
對(duì)于③：A₁-BDD₁B₁是正四棱錐，所有棱長(zhǎng)均相等，
A到平面BDD₁B₁的距離等于A₁到平面BDD₁B₁的距離，
等于A₁到BDD₁B₁的距離，為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：三棱錐C₁-A₁BD為正三棱錐，對(duì)棱互相垂直，
則A₁在平面BDC₁上的射影為△BDC₁的垂心，故④正確；
對(duì)于⑤：A₁-ABD占總體的$\frac{1}{6}$，BDC-B₁D₁C₁占總體的$\frac{1}{2}$，A₁-BDD₁B₁占總體的$\frac{1}{3}$，
∴平面A₁BD與平面BDD₁B₁將四棱柱分成從小到大三部分的體積比為1：2：3，故⑤正確．
故答案為：①②④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意棱柱的結(jié)構(gòu)特征和空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．