Question

已知圓C的圓心為直線x-y+1=0與2x+y-4=0的交點(diǎn)，且圓C與直線3x+4y+14=0相切．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）作直線l，①證明：直線l與圓C恒相交；②求直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）求出圓的圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離求出半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）作直線l，①通過(guò)點(diǎn)與圓心的距離與半徑比較即可證明：直線l與圓C恒相交；
②利用圓心距，半徑，想的關(guān)系，即可求直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的方程．

解答： （滿分12分）
解：（1）聯(lián)立

x-y+1=0 2x+y-4=0

得圓心為（1，2）
因?yàn)橹本�與圓相切，所以r=

|3+8+14|

5

=5
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-2）²=25---------------------------------（4分）
（2）①|PC|=2

5

＜5所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，
所以過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)作直線l與圓C恒相交------------------------（7分）
②l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，則圓心到直線的距離最大，此時(shí)PC⊥l----------（8分）
直線PC的斜率為2，所以直線l的斜率為-

1

2

--------------------------（10分）
l的方程為x+2y+5=0----------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．