Question

已知拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若△FAB為直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是 (

5

，+∞)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形是直角三角形求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，利用雙曲線的幾何量之間的關(guān)系，求出離心率的表達(dá)式，然后求解即可．

解答： 解：拋物線焦點(diǎn)F（1，0），由題意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x軸平分，
所以點(diǎn)（-1，2）在雙曲線上，得

1

a2

-

4

b2

=1，即b2=

4a2

1-a2

=c2-a2，
即c2=

4a2

1-a2

+a2=

5a2-a4

1-a2

，所以e2=

c2

a2

=

5-a2

1-a 2

=1+

4

1-a2

，
∵0＜a＜1，∴e²＞5，
故e＞

5

．
故答案為：(

5

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．