Question

已知△ABC中，B=60°，且

1

cosA

+

1

cosC

=-

2

cosB

，若A＞C，求A的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：先根據(jù)A，B，C的關(guān)系求出B的值，再代入到

1

cosA

+

1

cosC

=-

2

cosB

，中得到cosA，cosC的關(guān)系，根據(jù)和差化積及積化和差公式化簡(jiǎn)，再將cos

A+C

2

，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即可求出cos

A-C

2

的值．

解答： 解：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°，
∵

- 2

sin60°

=-2

2

，
∴

1

cosA

+

1

cosC

=-2

2

，
將上式化為cosA+cosC=-2

2

cosAcosC，
利用和差化積及積化和差公式，上式可化為2cos

A+C

2

cos

A-C

2

=-

2

[cos（A+C）+cos（A-C）]，
將cos

A+C

2

=cos60°=

1

2

，cos（A+C）=-

1

2

代入上式得cos（

A-C

2

）=

2

2

-

2

cos（A-C），
將cos（A-C）=2cos2（

A-C

2

）-1代入上式并整理得4

2

cos2（

A-C

2

）+2cos（

A-C

2

）-3

2

=0，
∴（2cos

A-C

2

-

2

）（2

2

cos

A-C

2

+3）=0，
∵2

2

cos

A-C

2

+3≠0，
∴2cos

A-C

2

-

2

=0．
從而得cos

A-C

2

=

2

2

．
∵A＞C，
∴π＞

A-C

2

＞0
∴

A-C

2

=45°，即有A-C=90°，
∵A+C=120°
∴可解得：A=105°

點(diǎn)評(píng)：本小題考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形和運(yùn)算的能力，計(jì)算量較大，屬于中檔題．