Question

橢圓C：＝1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|＝，|PF₂|＝．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線l過圓x²＋y²＋4x－2y＝0的圓心M，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法一：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以2a＝|PF₁|＋|PF₂|＝6，a＝3．

　　在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|＝，故橢圓的半焦距c＝，從而b²＝a²－c²＝4，所以橢圓C的方程為＝1．

　　(2)設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)．

　　已知圓的方程為(x＋2)²＋(y－1)²＝5，所以圓心M的坐標(biāo)為(－2，1)，從而可設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)＋1，代入橢圓C的方程得(4＋9k²)x²＋(36k²＋18k)x＋36k²＋36k－27＝0．

　　因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，所以＝－2，

　　解得k＝．

　　所以直線l的方程為y＝(x＋2)＋1，即8x－9y＋25＝0．

　　(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意)

　　解法二：(1)同解法一．

　　(2)已知圓的方程為(x＋2)²＋(y－1)²＝5，所以圓心M的坐標(biāo)為(－2，1)．

　　設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)．

　　由題意x₁≠x₂且　　①

　　　�、�

　　由①－②得　　③

　　因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，

　　所以x₁＋x₂＝－4，y₁＋y₂＝2．

　　代入③得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y－1＝(x＋2)，即8x－9y＋25＝0．

　　(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意)