Question

已知a＞b＞0，e₁，e₂分別是圓錐曲線

x2

a2

+

y2

b2

=1和

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率，設(shè)m=e₁+e₂，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)e₁，e₂均大于0，故求m=e₁+e₂的范圍可先求m平方的范圍即求e₁²+e₂²+2e₁e₂的范圍，而e₁²+e₂²=2，再根據(jù)a＞b＞0推斷出 0＜

b

a

＜1，進(jìn)而利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)分別表示出e₁和e₂，進(jìn)而求得e₁e₂的表達(dá)式，求得e₁e₂的范圍，代入m²=e₂¹+e₂²+2e₁e₂中，求得m²的范圍．即可求解

解答：解：由題意得：
e₁=

a2-b2

a

＞0，e₂=

a2+b2

a

＞0
∵m=e₁+e₂
∴m²=e₂¹+e₂²+2e₁e₂
即m²=2+2e₁e₂=2+2

a4-b4

a2

=2+2

1-( b a )4

∵a＞b＞0
∴0＜

b

a

＜1
∴0＜e₁e₂＜1
即2＜m²＜4
即

2

＜m＜2
故答案為：（

2

，2）

點(diǎn)評(píng)：本題采用了轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)求解變量的平方從而解決了問(wèn)題，是解決問(wèn)題常用的手段，屬于基礎(chǔ)題．