Question

已知a＞b＞0，e₁，e₂分別是圓錐曲線

x2

a2

+

y2

b2

=1和

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率，設(shè)m=lne₁+lne₂，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)a＞b＞0推斷出0＜

b

a

＜1，進(jìn)而利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)分別表示出e₁和e₂，進(jìn)而求得e₁e₂的表達(dá)式，求得e₁e₂的范圍，代入m=lne₁+lne₂中求得m的范圍．

解答：解：由條件得：0＜

b

a

＜1，e1=

a2-b2

a

，e2=

a2+b2

a

，
則e1•e2=

a4-b4

a2

=

1-( b a )4

∴0＜e₁e₂＜1，
所以m=lge₁+lge₂=lg（e₁e₂）＜0．
故答案為：（-∞，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓與雙曲線的性質(zhì)．考查了圓錐曲線中離心率的問(wèn)題，一般是需要挖掘已知條件的信息求得a和c的關(guān)系．