Question

（本小題滿分12分）
已知定義在R上的函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x=1時(shí)，f(x)取極小值．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖像上是否存在兩點(diǎn)，使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直?證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：(Ⅰ) 因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
所以恒成立，故，…………………3分
故，
又時(shí)，取極小值，所以，且，
所以………………①
……………………②
解得：，；
所以，（）…………………………………………………6分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，圖像上不存在兩點(diǎn)使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直.
證明如下：（方法1，用反證法）
①假設(shè)在的圖像上存在兩點(diǎn)，，使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，由(Ⅰ) 可知，且在兩點(diǎn)處的切線斜率均存在.
由假設(shè)則有，…………………………8分
從而，
另一方面，，所以，所以，
與前式顯然矛盾.所以，
當(dāng)時(shí)，圖像上不存在兩點(diǎn)使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直.………………12分
（方法2）
設(shè)，為的圖像上兩點(diǎn)，由(Ⅰ) 可知，
且在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線的斜率均存在.
不妨設(shè)在點(diǎn)處的切線斜率為，在點(diǎn)處的切線斜率為，
則，；………………8分
所以 ，
由題意，，
所以，即
綜上所述，當(dāng)時(shí)，圖像上不存在兩點(diǎn)使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直.……12分

略