Question

5．給出以下4個命題；
①曲線y=$\frac{1+cosx}{sinx}$在點（$\frac{π}{2}$，1）處的切線與直線x+y+1=0平行；
②若函數(shù)f（x）=x+asinx在R上單凋遞增，則實數(shù)a的取值范圍為-1≤a≤1；
③若f₀（x）=sinx，f₁（x）=f′₀（x），…，f_n（x）=f′_n-1，n∈N^*，則f₂₀₁₆（x）=sinx；
④函數(shù)f（x）=sin（πcosx）在區(qū)間[0，2π]上的零點個數(shù)是4．
其中正確的命題是①③（寫出正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①y′=$\frac{-1-cosx}{si{n}^{2}x}$，可得${y}^{′}{|}_{x=\frac{π}{2}}$=-1．可得曲線在點（$\frac{π}{2}$，1）處的切線方程為：y-1=-$（x-\frac{π}{2}）$，化簡利用兩條平行線之間的關系即可得出；
②若函數(shù)f（x）=x+asinx在R上單凋遞增，可得f′（x）=1+acosx≥0，當x=$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）時，上式恒成立；當x≠$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）時，上式化為$a≥-\frac{1}{cosx}$或$a≤-\frac{1}{cosx}$，即可得出范圍；
③利用導數(shù)的運算法則可得：f₀（x）=sinx，f₁（x）=f′₀（x）=cosx，f₂（x）=-sinx，f₃（x）=-cosx，f₄（x）=sinx=f₀（x），…，可得f_n+4（x）=f_n（x）即可判斷出；
④由于x∈[0，2π]，可得x=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π時，則f（x）=sin（πcosx）=0，因此f（x）有5個零點，即可判斷出正誤．

解答 解：①曲線y=$\frac{1+cosx}{sinx}$，y′=$\frac{-sinx-（1+cosx）cosx}{si{n}^{2}x}$=$\frac{-1-cosx}{si{n}^{2}x}$，∴${y}^{′}{|}_{x=\frac{π}{2}}$=$\frac{-1-cos\frac{π}{2}}{si{n}^{2}\frac{π}{2}}$=$\frac{-1}{1}$=-1．∴曲線在點（$\frac{π}{2}$，1）處的切線方程為：y-1=-$（x-\frac{π}{2}）$，化為x+y-1-$\frac{π}{2}$=0，因此與直線x+y+1=0平行，正確；
②若函數(shù)f（x）=x+asinx在R上單凋遞增，∴f′（x）=1+acosx≥0，當x=$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）時，上式恒成立；當x≠$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）時，上式化為$a≥-\frac{1}{cosx}$或$a≤-\frac{1}{cosx}$，∴a≥-1或a≤1，因此不正確；
③∵f₀（x）=sinx，f₁（x）=f′₀（x）=cosx，f₂（x）=-sinx，f₃（x）=-cosx，f₄（x）=sinx=f₀（x），…，可得f_n+4（x）=f_n（x），∴f₂₀₁₆（x）=f_504×4（x）=f₀（x）=sinx，
因此正確；
④∵x∈[0，2π]，∴x=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π時，πcosx分別等于：π，0，-π，0，π，則f（x）=sin（πcosx）=0，因此f（x）有5個零點，因此不正確．
函數(shù)f（x）=sin（πcosx）在區(qū)間[0，2π]上的零點個數(shù)是5．
綜上其中正確的命題是①③．
故答案為：①③．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性切線函數(shù)值、函數(shù)零點判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．