Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點(diǎn)處的切斜線率為2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-2x+2，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程組，聯(lián)解可得a，b的值；
（Ⅱ）先求g（x）的表達(dá)式，再求出它的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0或小于0求出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），所以f（1）=0即1+a=0
即a=-1①，又f（x）在P點(diǎn)處的切斜線率為2，f'（x）=1+2ax+

b

x

，所以f'（1）=2即1+2a+b=2②
將①代入②得b=3，故a=-1，b=3
（Ⅱ）g（x）=f（x）-2x+2=x-x²+3lnx-2x+2=-x²-x+3lnx+2（x＞0）
g'（x）=-2x-1+

3

x

=

-2x2-x+3

x

=

-(x-1)(2x+3)

x

由g'（x）＞0得-

3

2

＜x＜1又x＞0，所以0＜x＜1；由g'（x）＜0得x＞1．
故g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），單調(diào)減區(qū)間是（1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．