已知函數(shù)，且在時函數(shù)取得極值.
（1）求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若，
（Ⅰ）證明：當(dāng)時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）證明不等式恒成立.

（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）先利用函數(shù)在處取得極值，由求出的值，進(jìn)而求出的解析式，解不等式，從而得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）（Ⅰ）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式在區(qū)間上成立，從而說明當(dāng)時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的結(jié)論證明當(dāng)時，，由此得到，，，，結(jié)合累加法得到，再進(jìn)行放縮得到
，從而證明.
試題解析：（1），，函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/18/e/frmle.png" style="vertical-align:middle;" />，
由于函數(shù)在處取得極值，則，
，
解不等式，得或，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和；
（2）（Ⅰ）構(gòu)造函數(shù)，其中，
，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則對任意，則，即，即，
即當(dāng)時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）先證當(dāng)時，，由（Ⅰ）知，當(dāng)且時，，
故有，
由于，，，，
上述個不等式相加得，即，
即，由于，
上述不等式兩邊同時乘以得.
考點(diǎn)：1.函數(shù)的極值與單調(diào)區(qū)間；2.函數(shù)不等式的證明；3.累加法；4.數(shù)列不等式的證明.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
（1）若，求證：當(dāng)時，；
（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，試求的取值范圍；
（3）求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線平行于軸．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極小值；
（3）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，（）,證明：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
（3）若，的三個頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，、、分別為的內(nèi)角A、B、C所對的邊。求證：

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，且.
（1）判斷的奇偶性并說明理由；
（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若在區(qū)間上，不等式恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)：
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對于任意的，若函數(shù)在 區(qū)間上有最值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)(其中).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)=,=,若曲線和曲線都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線．
(Ⅰ)求,,,的值；
(Ⅱ)若時，≤，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，（且）.
（1）設(shè)，令，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（2）若且的定義域和值域都是，求的最大值；
（3）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案