Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1+

2

，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及此時x的值；
（3）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+

2

，可得函數(shù)的最小正周期．
（2）由 f（x）的解析式，可得函數(shù)的最大值為2，令 2x-

π

4

=2kπ+

π

2

k∈z，求得x=kπ+

3π

8

，從而得出結(jié)論．
（3）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1+

2

=2sin²x+sin2x-1+

2

=sin2x-cos2x+

2

=

2

sin（2x-

π

4

）+

2

，
故函數(shù)的最小正周期為T=

2π

2

=π．
（2）由 f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+

2

，可得函數(shù)的最大值為2，令 2x-

π

4

=2kπ+

π

2

 k∈z，求得x=kπ+

3π

8

，
故f（x）的最大值為2，此時x的值是 x=kπ+

3π

8

，k∈z．
（3）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、最值、以及單調(diào)性，屬于中檔題．