Question

15、已知定義域?yàn)椋∣，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（10x）=10f（x），②當(dāng)x∈（1，10]時(shí)，f（x）=x-lgx，②．記區(qū)間I_k=（10^k，10^k+1]，其中k∈Z，當(dāng)x∈I_k（k=0，1，2，3，…）時(shí)．f（x）的取值構(gòu)成區(qū)間D_k，定義區(qū)間（a，b）的區(qū)間長(zhǎng)度為b-a，設(shè)區(qū)間D_k在區(qū)間I_k上的補(bǔ)集的區(qū)間長(zhǎng)度為a_k，則a₁=

10

，a_k=

10^k

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件求得區(qū)間D_k，與區(qū)間I_k比較即可得到區(qū)間D_k在區(qū)間I_k上的補(bǔ)集的區(qū)間長(zhǎng)度為a_k，I_k已知，故只需要求得D_k即可

解答：解：由題意，當(dāng)x∈I_k（k=0，1，2，3，…）時(shí)．f（x）=10^kf（t），t∈∈（1，10]，
由于當(dāng)x∈（1，10]時(shí)，f（x）=x-lgx，此函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，其值域?yàn)椋?，9]．
由題意知I_k=（10^k，10^k+1]，D_k=（10^k，9×10^k]，∴區(qū)間D_k在區(qū)間I_k上的補(bǔ)集為[9×10^k，10^k+1]，∴a_k=10^k，故a₁=10
故答案為：10，10^k

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)的定義規(guī)則，根據(jù)規(guī)則進(jìn)行計(jì)算，此類題，理解題意中所給的運(yùn)算規(guī)則很重要．