設(shè)橢圓的左右頂點分別為，離心率．過該橢圓上任一點作軸，垂足為，點在的延長線上，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）求動點的軌跡的方程；

（3）設(shè)直線（點不同于）與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

【答案】

（1）;（2）;（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的；（2）用設(shè)點、建立兩個動點之間坐標(biāo)的關(guān)系和代入已知曲線方程的方法求出動點軌跡方程；（3）先利用三點共線建立與的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)為線段的中點求出的坐標(biāo)表達(dá)式，進(jìn)一步求出直線的方程，最后根據(jù)曲線圓心到直線的距離與半徑的大小情況判斷其位置關(guān)系.

試題解析：（1）由題意可得，，∴，         2分

∴，所以橢圓的方程為．        4分

（2）設(shè)，，由題意得，即，    6分

又，代入得，即．

即動點的軌跡的方程為．            8分

（3）設(shè)，點的坐標(biāo)為，∵三點共線，∴，

而，，則，∴，

∴點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，      10分

∴直線的斜率為，

而，∴，∴，       12分

∴直線的方程為，化簡得，

∴圓心到直線的距離，

所以直線與圓相切．           14分

考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，2、代入法求動點軌跡方程，3、直線與圓位置關(guān)系的判定問題.

 

練習(xí)冊系列答案
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已知圓，直線與圓相切，且交橢圓于兩點，c是橢圓的半焦距，

（1）求m的值；

（2）O為坐標(biāo)原點，若，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設(shè)橢圓的左右頂點分別為A，B，動點，直線與直線分別交于M，N兩點，求線段MN的長度的最小值

 

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已知圓，直線與圓相切，且交橢圓于兩點，c是橢圓的半焦距，.

（1）求m的值；

（2）O為坐標(biāo)原點，若，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設(shè)橢圓的左右頂點分別為A，B，動點，直線與直線分別交于M，N兩點，求線段MN的長度的最小值.

 

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設(shè)橢圓的左右頂點分別為，離心率．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）求動點C的軌跡E的方程；

（3）設(shè)直線AC（C點不同于A，B）與直線交于點R，D為線段RB的中點，試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江西南昌市高三第二次模擬測試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率等于，點P在橢圓上。

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左右頂點分別為，過點的動直線與橢圓相交于兩點，是否存在定直線：，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由.

 

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已知橢圓：的離心率等于，點在橢圓上.

(I)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)橢圓的左右頂點分別為,,過點的動直線與橢圓相交于,兩點，是否存在定直線：，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由。

 

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