Question

已知橢圓：的離心率等于，點(diǎn)在橢圓上.

(I)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于,兩點(diǎn)，是否存在定直線(xiàn)：，使得與的交點(diǎn)總在直線(xiàn)上？若存在，求出一個(gè)滿(mǎn)足條件的值；若不存在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

(I)   

(Ⅱ) 存在定直線(xiàn):,使得與的交點(diǎn)總在直線(xiàn)上,的值是.

【解析】

試題分析：（1）由，

又點(diǎn)在橢圓上，，所以橢圓方程：；    

（2）當(dāng)垂直軸時(shí)，，則的方程是：，

的方程是：，交點(diǎn)的坐標(biāo)是：，猜測(cè):存在常數(shù),

即直線(xiàn)的方程是:使得與的交點(diǎn)總在直線(xiàn)上,

證明：設(shè)的方程是，點(diǎn)，

將的方程代入橢圓的方程得到：，

即：，

從而：，      

因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060709181706738234/SYS201306070919146142814889_DA.files/image026.png">，共線(xiàn)，所以：，，

又，要證明共線(xiàn)，即要證明，    

即證明：，即：，

即：因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060709181706738234/SYS201306070919146142814889_DA.files/image038.png">成立，

所以點(diǎn)在直線(xiàn)上.綜上:存在定直線(xiàn):,使得與的交點(diǎn)總在直線(xiàn)上,的值是.

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的方程是否存在，綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用