Question

（2013•煙臺(tái)一模）若點(diǎn)P是以A(-

10

，0)、B(

10

，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2

2

的雙曲線(xiàn)與圓x²+y²=10的一個(gè)交點(diǎn)，則|PA|+|PB|的值為（　　）

• A．2

  2

• B．4

  2

• C．4

  3

• D．6

  2

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)與實(shí)軸長(zhǎng)，算出雙曲線(xiàn)方程為

x2

2

-

y2

8

=1．設(shè)P（m，n）是雙曲線(xiàn)與圓x²+y²=10在第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)方程與圓方程聯(lián)解算出P（

3

5

10

，

4

5

10

），再由兩點(diǎn)間的距離公式分別算出|PA|、|PB|的長(zhǎng)，即可得到|PA|+|PB|的值．

解答：解：∵雙曲線(xiàn)以A(-

10

，0)、B(

10

，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2

2

，
∴2a=2

2

，且c²=a²+b²=10，可得a²=2，b²=8，
因此，雙曲線(xiàn)的方程為

x2

2

-

y2

8

=1．
設(shè)P（m，n）是雙曲線(xiàn)與圓x²+y²=10在第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，
由

m2 2 - n2 8 =1 m2+n2=10

，解之得m=

3

5

10

，n=

4

5

10

，得P（

3

5

10

，

4

5

10

）
因此，|PA|=

( 3 5 10 + 10 )2+( 4 5 10 )2

=4

2

，|PB|=

(- 3 5 10 + 10 )2+( 4 5 10 )2

=2

2

∴|PA|+|PB|=6

2

故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足的條件，求雙曲線(xiàn)的方程并求該雙曲線(xiàn)與圓x²+y²=10的交點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和．著重考查了雙曲線(xiàn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系和坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．