Question

（2013•煙臺一模）設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，a₁=3．若點（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=

1

3

x3+x2-2的導函數(shù)y=f′（x）圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

2

an+1•an

，是否存在最小的正數(shù)M，使得對任意n∈N^*都有b₁+b₂+…+b_n＜M成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），利用點在函數(shù)的圖象上，求出遞推關(guān)系，再求通項公式；
（2）利用a_n，求出b_n，再用裂項相消法分析求解即可．

解答：解：（1）f′（x）=x²+2x，
由點（an，an+12-2an+1）（n∈N^*）在y=f′（x）圖象上，
得

a

2 n+1

-2a_n+1=

a

2 n

+2a_n⇒（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n）
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n+1．
（2）b_n=

2

an+1•an

=

2

(2n+1)(2n+3)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

，
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

1

3

-

1

2n+3

＜

1

3

，
∴存在最小正數(shù)M=

1

3

，使得不等式成立．

點評：本題考查數(shù)列求和、數(shù)列的函數(shù)特性．