已知函數(shù)f（x）=lnx+x2+ax．
（I）當a=-4時，求方程f（x）+x2=0在（1，+∞）上的根的個數(shù)；
（II）若f（x）既有極大值又有極小值，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（I）把a=-4代入，令g（x）=f（x）+x2=lnx+2x2-4x，只要求出g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的零點的個數(shù)即可，求導(dǎo)數(shù)可知g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，結(jié)合零點的存在性定理可得結(jié)論；
（II）由題意只需g′（x）在（0，+∞）上恰有兩個互不相等的零點即可，進而可得
-
a
2
＞0
△=a2-8＞0
，解之即可．
解答：解：（I）當a=-4時，令g（x）=f（x）+x2=lnx+2x2-4x，
只要求出g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的零點的個數(shù)即可，
由g′（x）=
1
x
+4x-4=
(2x-1)2
x
在（1，+∞）上恒大于0可知，
g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，
又由g（1）=-2＜0，g（2）=ln2＞0，
故g（x）在區(qū)間（1，+∞）上恰有1個零點；
（II）由題意可得g′（x）=
1
x
+2x+a=
2x2+ax+1
x

在（0，+∞）上恰有兩個互不相等的零點即可，
只需對分子上的二次函數(shù)有
-
a
2
＞0
△=a2-8＞0
，解得a＜-2
2
點評：本題考查用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的極值，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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