Question

．（本小題滿分12分）如圖所示，矩形ABCD的邊AB=，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)： ①；②；③；建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，
（I）當(dāng)BC邊上存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時，可能取所給數(shù)據(jù)中的哪些值?請說明理由；
（II）在滿足（I）的條件下，若取所給數(shù)據(jù)的最小值時，這樣的點(diǎn)Q有幾個? 若沿BC方向依次記為，試求二面角的大小.

Answer 1

解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為:
，，，，

設(shè)(0≤x≤2)， …………………2分
∵∴由PQ⊥QD得
。
∵……………4分
∴在所給數(shù)據(jù)中，可取和兩個值. ……6分

(II) 由(Ⅰ)知，此時或，即滿足條件的點(diǎn)Q有兩個，…8分
根據(jù)題意，其坐標(biāo)為和，……9分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，
∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角.……………………10分
由=，
得∠Q₁AQ₂=30°，∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小為30°.………………………12分

略