【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+1(a∈R).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=lnx,若對任意的x1∈(0,+∞),存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)<g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)a≤0時,f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞);當(dāng)a>0時,f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,),單調(diào)遞減在區(qū)間是(,+∞).(2)a.
【解析】
(1)函數(shù)求導(dǎo)得,然后分a≤0和a>0兩種情況分類求解.
(2)根據(jù)對任意的x1∈(0,+∞),存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)<g(x2)成立,等價于f(x)max<g(x)max,然后分別求最大值求解即可.
(1),
當(dāng)a≤0時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)a>0時,在區(qū)間(0,)上,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
在區(qū)間(,+∞)上,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
綜上:當(dāng)a≤0時,f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞),
當(dāng)a>0時,f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,),單調(diào)遞減在區(qū)間是(,+∞).
(2),
在區(qū)間(1,3)上,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
在區(qū)間(3,+∞)上,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
所以g(x)max=g(3)=ln3,
因為對任意的x1∈(0,+∞),存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)<g(x2)成立,
等價于f(x)max<g(x)max,
由(1)知當(dāng)a≤0時,f(x)無最值,
當(dāng)a>0時,f(x)max=f()=﹣lna,
所以﹣lna<ln3,
所以,
解得a.
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【題目】已知函數(shù)(a,b∈R).
(1)若f(x)在點(1,f(1))的切線為y=x+1,求f(x)的單調(diào)性與極值;
(2)若b=﹣1,函數(shù)有且只有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線與直線交于兩點,若點的坐標(biāo)為,求.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1.
(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)當(dāng)f(x)≤1,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】奇函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù),當(dāng)x<0時,f(x),則使得(x2﹣1)f(x)<0成立的x的取值范圍為( )
A.(﹣1,0)∪(0,1)B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
C.(﹣1,0)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
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【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對應(yīng)關(guān)系如下表:
AQI指數(shù)值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
下圖是某市10月1日—20日AQI指數(shù)變化趨勢:
下列敘述錯誤的是
A. 這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100
B. 這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占
C. 該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好
D. 總體來說,該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好
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【題目】2019年6月25日,《固體廢物污染環(huán)境防治法(修訂草案)》初次提請全國人大常委會審議,草案對“生活垃圾污染環(huán)境的防治”進行了專章規(guī)定.草案提出,國家推行生活垃圾分類制度.為了了解人民群眾對垃圾分類的認識,某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如表所示:
得分 | |||||||
頻數(shù) | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由頻數(shù)分布表可以認為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表),請利用正態(tài)分布的知識求;
(2)在(1)的條件下,市環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:
①得分不低于 “的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費;
②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為:
獲贈的隨機話費(單位:元) | 20 | 40 |
概率 |
現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:①;②若,則,,,
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線經(jīng)過點且傾斜角為.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程;
(2)已知直線與曲線交于,滿足為的中點,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).
(1)請寫出直線的參數(shù)方程;
(2)求直線與曲線交點的直角坐標(biāo).
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