Question

【題目】已知：函數(shù)且.

（1）求定義域；

（2）判斷的奇偶性，并說明理由；

（3）求使的的解集．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是奇函數(shù)；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用對數(shù)函數(shù)的指數(shù)大于零，列出不等式組，解不等式組即可求解函數(shù)的定義域．（2）利用對數(shù)的運算法則可得,結(jié)合函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，可得為奇函數(shù)．（3）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域化簡不等式即可求解不等式．

試題解析：（1）由題意得 ，即﹣2＜x＜2．∴f（x）的定義域為（﹣2，2）；

（2）∵對任意的x∈（﹣2，2），﹣x∈（﹣2，2）

f（﹣x）=loga（2﹣x）﹣loga（2+x）=﹣f（x），

∴f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）是奇函數(shù)；

（3）f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）＞0，即log2（2+x）＞loga（2﹣x），

∴當(dāng)a∈（0，1）時，可得2+x＜2﹣x，即﹣2＜x＜0．

當(dāng)a∈（1，+∞）時，可得2+x＞2﹣x，即x∈（0，2）.