Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)滿足：a₁=1-3k（k∈R），a_n=4^n-1-3a_n-1
（1）判斷數(shù)列{a_n-

4n

7

}是否為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=4^n-1-3a_n-1，當(dāng)n≥2時(shí)，變形為a_n-

4n

7

=4n-1-3an-1-

4n

7

=-3(an-1-

4n-1

7

)，即可得出．
（2）由（1）當(dāng)k≠

2

7

時(shí)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；當(dāng)k=

2

7

時(shí)，a₁=

1

7

，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

4n

7

．
（3）對(duì)n分奇偶討論，解出a_n+1-a_n＞0即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n=4^n-1-3a_n-1，
∴a_n-

4n

7

=4n-1-3an-1-

4n

7

=-3(an-1-

4n-1

7

)，
a1-

1

7

=

6

7

-3k，當(dāng)k≠

2

7

時(shí)，數(shù)列{a_n-

4n

7

}是等比數(shù)列．
（2）由（1）當(dāng)k≠

2

7

時(shí)，可得an-

4n

7

=(

6

7

-3k)•（-3）^n-1．
∴a_n=

4n

7

+(

6

7

-3k)•（-3）^n-1．
當(dāng)k=

2

7

時(shí)，a₁=

1

7

，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

4n

7

．
（3）由（2）可知：當(dāng)k=

2

7

時(shí)，a₁=

1

7

，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

4n

7

，數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．
當(dāng)k≠

2

7

時(shí)，a_n+1-a_n=

4n+1

7

+(

6

7

-3k)•(-3)n-

4n

7

-(

6

7

-3k)•（-3）^n-1
=

3•4n

7

+(

6

7

-3k)•[(-3)n-(-3)n-1]＞0，
當(dāng)n=2m-1（m∈N^*）時(shí)，上式化為k＞

1

7

[2-(

4

3

)n-1]，∴k＞

2

7

．
當(dāng)n=2m（m∈N^*）時(shí)，上式化為k＜

1

7

[2+(

4

3

)n]，∴k＜

34

63

．
綜上可得：k的取值范圍是[

2

7

，

34

63

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、數(shù)列單調(diào)性，考查了變形能力與分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．