Question

已知（1+sin²α）sinβ=sinαcosαcosβ（cosαcosβ≠0），設(shè)tanα=x，tanβ=y，記y=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析表達式；
（Ⅱ）若α角是一個三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平方關(guān)系式代換“1”，化簡（1+sin²α）sinβ=sinαcosαcosβ為tanα，tanβ的表達式，求出函數(shù)的表達式．
（Ⅱ）α角是一個三角形的最小內(nèi)角，通過設(shè)函數(shù)g（x）=2x+

1

x

，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出極值點，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，然后確定函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）已知可變?yōu)椋╟os²α+2sin²α）sinβ=sinαcosαcosβ…（2分）
因為cosαcosβ≠0，（1+2tan²α）tanβ=tanα，y+2x²y=x，
所以y=

x

1+2x2

，即f（x）=

x

1+2x2

．…（5分）
（Ⅱ）因為α是三角形的最小內(nèi)角，∴0＜α≤

π

3

，0＜x≤

3

，
設(shè)g（x）=2x+

1

x

，0＜x≤

3

，
g′（x）=2-

1

x2

，令g′（x）=0，解答x=

2

2

，
x∈(0，

2

2

]，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）是減函數(shù)，
x∈[

2

2

，+∞)時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）是增函數(shù)，
所以g（x）在(0，

2

2

]是減函數(shù)，在[

2

2

，+∞)是增函數(shù)，
所以 當(dāng)x=

2

2

時，g_min（x）=2

2

…（11分）
故函數(shù)f（x）的值域為(0，

2

4

]．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力．