Question

(本小題滿分12分)

如圖，已知直線l與拋物線相切于點(diǎn)P(2，1)，且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）.

（I） 若動(dòng)點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡C；

（II）若過(guò)點(diǎn)B的直線l′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

Answer 1

(本小題滿分12分)

解：（I）由，∴直線l的斜率為，………1分

故l的方程為，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0） ……………………………… 2分

設(shè)    則，

由得

整理，得    ……………………………………………………4分

∴點(diǎn)M的軌跡為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2的橢圓 … 5分

   （II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設(shè)l方程為y=k(x－2)(k≠0)①

將①代入，整理，得

，

由△>0得0<k²<.   設(shè)E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)

則 ②     ………………………………………………………7分

令，由此可得

由②知

     …………………………10分

.∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）…12分.