Question

已知圓C經(jīng)過點A（-3，0），B（3，0），且圓心在直線y=x上，又直線l：y=kx+2與圓C交于P，Q兩點
（1）求圓C的方程；
（2）過點（0，2）做直線a與L垂直，且直線a與圓C交于M，N倆點，求四邊形PMQN面積的最大值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，從而可求圓C的方程；
（2）設(shè)圓心O到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，有d12+d2=4，根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到|PQ|，|MN|，表示出面積，再利用基本不等式，可求四邊形PMQN面積的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．
因為圓經(jīng)過點A（-3，0），B（3，0），所以|AC|=|BC|=r，
所以

(a+3)2+a2

=

(a-3)2+a2

=r，
解得a=0，r=3，…（2分）
所以圓C的方程是x²+y²=9；
（2）設(shè)圓心O到直線l，a的距離分別為d，d₁，四邊形PMQN的面積為S．
因為直線l，a都經(jīng)過點（0，2），且l⊥a，根據(jù)勾股定理，有d12+d2=4，…（10分）
又根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到，|PQ|=2

9-d2

，|MN|=2

9-d12

，…（11分）
所以S=

1

2

×2

9-d2

×2

9-d12

=2

81-9(d12+d2)+d12d2

=2

45+d12d2

≤2

45+( d12+d2 2 )2

=14…（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)d₁=d時，等號成立，所以S的最大值為14．…（14分）

點評：本題考查圓的標準方程，考查圓的性質(zhì)，考查四邊形面積的計算，考查基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是正確表示四邊形的面積，屬于中檔題．