【題目】已知分別是直線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的長為，是的中點(diǎn)．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若過點(diǎn)（1,0）的直線與曲線交于不同兩點(diǎn)．

①當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

②試問在軸上是否存在點(diǎn)，使恒為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）① 或；②存在，點(diǎn)，.

【解析】

試題分析：（1）本問考查求軌跡方程的直接法，即根據(jù)題中已知條件，轉(zhuǎn)化為關(guān)于定點(diǎn)的坐標(biāo)表示，首先設(shè)點(diǎn)，，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式有，，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式表示出線段的長度，于是可以整理得到關(guān)于點(diǎn)的方程，即為所求軌跡；（2）①本問主要考查直線與圓相交，有關(guān)弦長問題，可以根據(jù)垂徑定理進(jìn)行求解，注意對直線的斜率是否存在進(jìn)行討論；②本問主要考查解析幾何中直線與圓的問題，首先假設(shè)存在點(diǎn)使得為定值，把直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)點(diǎn)，，表示出，的值，然后將用坐標(biāo)表示出來，得到關(guān)于的表達(dá)式，若為定值，則分母應(yīng)為分子的倍數(shù)，可以采用待定系數(shù)法求解.

試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)，，，則，，

又根據(jù)題意①，②，且，

所以由①②得：，所以，即，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：；

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，經(jīng)計(jì)算，此時(shí)，不符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，圓心到直線的距離，

根據(jù)垂徑定理有：，

解得，所以，

所以直線的方程為或；

②假設(shè)存在點(diǎn)使得為定值，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，

由消去得:,

易知成立，設(shè)點(diǎn)，，則，，

若為定值，則必有，解得，點(diǎn)，

所以，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)，，此時(shí)，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長度.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對稱軸方程；

（Ⅱ）已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解．

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）證明：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

⑴當(dāng)，求函數(shù)在區(qū)間上的極值；

⑵當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求正數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三次函數(shù)，下列命題正確的是 .

①函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；

②以，兩不同的點(diǎn)為切點(diǎn)作兩條互相平行的切線，分別與交于兩點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足關(guān)系；

③以為切點(diǎn)，作切線與圖像交于點(diǎn)，再以點(diǎn)為切點(diǎn)作直線與圖像交于點(diǎn)，再以點(diǎn)作切點(diǎn)作直線與圖像交于點(diǎn)，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為；

④若，函數(shù)圖像上存在四點(diǎn)，使得以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形有且僅有一個(gè)正方形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】國慶假期是實(shí)施免收小型客車高速通行費(fèi)的重大節(jié)假日，有一個(gè)群名為“天狼星”的自駕游車隊(duì)，該車隊(duì)是由31輛身長約為（以計(jì)算）的同一車型組成，行程中經(jīng)過一個(gè)長為2725的隧道（通過隧道的車速不超過），勻速通過該隧道，設(shè)車隊(duì)的速度為，根據(jù)安全和車流的需要，當(dāng)時(shí)，相鄰兩車之間保持的距離；當(dāng)時(shí)，相鄰兩車之間保持的距離，自第一輛車車頭進(jìn)入隧道至第31輛車車尾離開隧道所用的時(shí)間．

（1）將表示成為的函數(shù)；

（2）求該車隊(duì)通過隧道時(shí)間的最小值及此時(shí)車隊(duì)的速度．

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【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，），且數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.

（1）若，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）設(shè)，如果中的每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)，求的取值范圍．

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【題目】已知圓心在軸正半軸上的圓與直線相切，與軸交于兩點(diǎn)，且.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，若設(shè)點(diǎn)為的重心，當(dāng)的面積為時(shí)，求直線的方程.

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