對于函數(shù)f(x)，若f(x)＝x，則稱x為f(x)的“不動點”；若f(f(x))＝x，則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點”．函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．

(1)求證；

(2)若f(x)＝ax2－1(a∈R，x∈R)，且，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，x0是函數(shù)的穩(wěn)定點，問x0是函數(shù)的不動點嗎？若是，請證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)若，則顯然成立；　2分

　　若，設，有，則，故　4分

　　(2)因為所以方程有實根

　　　解得　5分

　　又所以即的左邊有因式從而有　7分

　　∵A＝B，∴方程要么沒有實根，要么實根是方程的根．若方程沒有實根，則，由此解得；　9分

　　若方程有實根且實根是方程的根，則由方程得代入有．由此解得再代入得，由此解得　11分

　　∴a的取值范圍是　12分

　　(3)由題意是函數(shù)的穩(wěn)定點則設是R的單調(diào)增函數(shù)，則所以，矛盾．　14分

　　若是R的單調(diào)增函數(shù)，則所以，矛盾．故．所以是函數(shù)的不動點．　16分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（08年黃岡中學一模理） (本小題滿分14分)對于函數(shù)f(x)，若存在，使成立，則稱x0為f(x)的不動點. 如果函數(shù)有且僅有兩個不動點0，2，且

（1）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知各項不為零且不為1的數(shù)列{an}滿足，求證：；

（3）設，為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

       對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點  已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時，求f(x)的不動點；

（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖像上A、B兩點的橫坐標是函數(shù)f(x)的不動點，且A、B關于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點．如果函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有兩個相異的不動點x1，x2．

⑴若x1<1<x2，且f(x)的圖象關于直線x＝m對稱，求證：<m<1；

⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆湖南師大附中高三第二次月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

對于函數(shù)f(x)，若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b(a＜b)，使當x∈[a，b]時，f(x)的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f(x)為“布林函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為函數(shù)f(x)的“等域區(qū)間”.

（1）布林函數(shù)的等域區(qū)間是         .

（2）若函數(shù)是布林函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是           .

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆湖南省華容縣高一第一學期期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

(本小題滿分6分）對于函數(shù)f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，則稱點(x0，x0)為函數(shù)的不動點，已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx-b有不動點(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

 

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