Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足條件：①f（0）=0；②f（x+1）-f（x）=x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T_n，且T_n=t^f（n）（實(shí)數(shù)t＞0），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0求出c，再由f（x+1）-f（x）=x+1得到：2ax+a+b=x+1，根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可分別求a，b；
（2）根據(jù)題意得：當(dāng)n=1時(shí)a₁=T₁，且當(dāng)n≥2時(shí)an=

Tn

Tn-1

，求出a_n，對t分類討論分別利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=0得，c=0
又f（x+1）-f（x）=x+1，
則a（x+1）²+b（x+1）-（ax²+bx）=x+1，
化簡得，2ax+a+b=x+1，得

2a=1 a+b=1

，解得a=b=

1

2

，
所以f（x）=

1

2

x²+

1

2

x；
（2）因?yàn)門_n=t^f（n）（實(shí)數(shù)t＞0），
所以當(dāng)n=1時(shí)，a₁=T₁=t^f（1）=t，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=

Tn

Tn-1

=

tf(n)

tf(n-1)

=t^{f（n）-f（n-1）}
=t

1

2

n2+

1

2

n-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=tⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁也適合上式，所以an=tn，
①當(dāng)t=1時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n；
②當(dāng)t≠1時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

t(1-tn)

1-t

，
綜上得，Sn=

n，t=1 t(1-tn) 1-t ，t≠1

．

點(diǎn)評：本題考查利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，及分裂討論思想．