Question

雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1上點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂連線的夾角為60°，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂ 的坐標(biāo)，在△PF₁F₂中，由余弦定理及雙曲線的定義得|PF₁|•|PF₂ |=36，從而求得△PF₁F₂面積

1

2

|PF₁|•|PF₂ |sin60°的值．

解答： 解：由題意得，a=4，b=3，c=5，
∴F₁（-5，0 ）、F₂（5，0），
在△PF₁F₂中，由余弦定理得4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
=|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁|•|PF₂|
=（|PF₁ |-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂ |=4a²+|PF₁|•|PF₂ |，
∴100=4×16+|PF₁|•|PF₂ |，
∴|PF₁|•|PF₂ |=36，
∴△PF₁F₂面積為

1

2

|PF₁|•|PF₂ |sin60°=

1

2

×36×

3

2

=9

3

．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查三角形的余弦定理和面積公式的運(yùn)用，求出|PF₁|•|PF₂ |的值是解題的關(guān)鍵．