Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂）．求證：方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且必有一個(gè)屬于（x₁，x₂）．

Answer 1

證明：令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=ax²+bx+c-

1

2

[f（x₁）+f（x₂），
因?yàn)椤?b2-4a[c-

f(x1)+f(x2)

2

]=b²-4ac+2a[f（x₁）+f（x₂）]=b²-4ac+2a[ax12+bx1+c+ax22+bx2+c]=[b+a(x1+x2)]2+a2(x1-x2)2，
又x₁＜x₂，所以△＞0，
所以g（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，即方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
而g（x₁）=f（x₁）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=-

f(x2)-f(x1)

2

，g（x₂）=f（x₂）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

f(x2)-f(x1)

2

，
∴g（x₁）•g（x₂）=-

1

4

[f（x₂）-f（x₁）]²＜0．
再由g（x）的圖象是連續(xù)的，可得g（x）在區(qū)間（x₁，x₂） 內(nèi)必有零點(diǎn)，即 f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

=0在區(qū)間（x₁，x₂） 內(nèi)必有實(shí)數(shù)根．
綜上可得，方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且必有一個(gè)屬于（x₁，x₂）．