Question

15、已知三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，下列結(jié)論正確的有

①②④

．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）
①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB；
②由頂點(diǎn)P作三棱錐的高，其垂足是△ABC的垂心；
③△ABC可能是鈍角三角形；
④相對(duì)棱中點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)．

Answer 1

分析：①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，由線面直的性質(zhì)可以證明；
②由頂點(diǎn)P作三棱錐的高，其垂足是△ABC的垂心，由題設(shè)條件驗(yàn)證其是否是底面高線的交點(diǎn)即可；
③△ABC可能是鈍角三角形，由垂足的位置可以判決；
④相對(duì)棱中點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，此點(diǎn)是底面高線上的點(diǎn)，由此可以判斷．

解答：解：①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，由此條件可以得出，每一條棱都垂直于另外兩條棱所確定的平面，由線面垂直即可即出PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB故命題正確；
②由頂點(diǎn)P作三棱錐的高，其垂足是△ABC的垂心，由PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，知三側(cè)棱在底面的射影一定垂直于對(duì)邊，故垂足是△ABC的垂心，命題正確；
③△ABC可能是鈍角三角形，③△ABC不可能是鈍角三角形，與實(shí)際圖形不相符；
④相對(duì)棱中點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，可在圖形中用平行四邊形對(duì)角線相交且互相平分證明出相對(duì)棱中點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，故此命題正確．
綜上知結(jié)論正確的有①②④
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，解答本題的關(guān)鍵是對(duì)棱錐中點(diǎn)線面的位置關(guān)系有著比較熟悉的了解，且能通過(guò)其所知的特征判斷出一些結(jié)論．本題考查了空間想像能力以及推理論證的能力，綜合性較強(qiáng)