Question

(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.

(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；

(2)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，當(dāng)h(x)存在最小值時(shí)，求其最小值φ(a)的解析式；

(3)對(duì)(2)中的φ(a)，證明：當(dāng)a∈(0，＋∞)時(shí)，φ(a)≤1

 

Answer 1

【答案】

解：(1)f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，

 

 

∴兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e²，e)．切線的斜率為k＝f′(e²)＝，

 

∴切線的方程為y－e＝ (x－e²)．

(2)由條件知h(x)＝－alnx(x>0)，

∴h′(x)＝－＝，

 

①當(dāng)a>0時(shí)，令h′(x)＝0，解得x＝4a²

∴當(dāng)0<x<4a²時(shí)，h′(x)<0，h(x)在(0,4a²)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>4a²時(shí)，h′(x)>0， h(x)在(4a²，＋∞)上單調(diào)遞增．

∴x＝4a²是h(x)在(0，＋∞)上的惟一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)．

∴最小值φ(a)＝h(4a²)＝2a－aln (4a²)＝2a[1－ln (2a)]．

【解析】略