Question

橢圓的中心在原點，它的短軸長是2

2

，一個焦點F（c，0）（c＞0），直線l：x=

a2

c

與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若

OP•

OQ

=0，求直線PQ的方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,平面向量數(shù)量積的運算,直線的一般式方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知得b=

2

，A(

a2

c

，0)，由此能求出橢圓方程．
（2）設PQ與橢圓交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ方程為y=k（x-3），把y=k（x-3）代入x²+3y²-6=0，x²+3k²（x-3）²-6=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線PQ的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓的中心在原點，它的短軸長是2

2

，一個焦點F（c，0）（c＞0），直線l：x=

a2

c

與x軸相交于點A，
∴b=

2

，A(

a2

c

，0)，（1分）
∵|OF|=2|FA|，∴c=2(

a2

c

-c)，
即c²=2b²，∴c²=4，（2分），
∴a²=6，∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1，e=

c

a

=

6

3

．（4分）
（2）設PQ與橢圓交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ方程為y=k（x-3），（6分），
∵

OP

•

OQ

=0，∴OP⊥OQ，（7分）
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1，
把y=k（x-3）代入x²+3y²-6=0，x²+3k²（x-3）²-6=0，（8分）
（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，

x1+x2= 18k2 1+3k2 x1•x2= 27k2-6 1+3k2

，（9分）
k（x₁-3）•k（x₂-3）=-x₁x₂
k2(

27k2-6

1+3k2

-3

18k2

1+3k2

+9)=-

27k2-6

1+3k2

k2•

27k2-6-54k2+27k2+9

1+3k2

=

6-27k2

1+3k2

，
3k²=6-27k²，（11分）
解得k2=

1

5

，∴k=±

5

5

，（12分）
∴直線PQ的方程為y=±

5

5

(x-3)．（14分）

點評：本題考查橢圓方程及離心率的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．