Question

通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間，講座開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學(xué)生的興趣保持理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．分析結(jié)果和實驗表明，用f（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：分），可以有以下公式：

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59(10＜x≤16) -3x+107(16＜x≤30)

（1）開講多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強？能維持多少分鐘？
（2）開講5分鐘與開講15分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時強一些？
（3）一個數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及10分鐘的時間，老師能否及時在學(xué)生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題？

Answer 1

分析：此題考查的是分段函數(shù)的基本知識及分段函數(shù)圖象增減性的應(yīng)用．第一小題求學(xué)生的接受能力最強其實就是要求分段函數(shù)的最大值，方法是分別求出各段的最大值取其最大即可．第二小題比較5分鐘和15分鐘學(xué)生的接受能力何時強，方法是把x=5代入第一段函數(shù)中，而x=15要代入到第二段函數(shù)中，比較大小即可．不同的自變量代入相應(yīng)的解析式才能符合要求．第三小題考查分段函數(shù)圖象和增減性，令f（x）=55，第一段函數(shù)解得x=6，第二段函數(shù)解得x=

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，關(guān)鍵是從圖象上知道6＜x＜

52

3

時，f（x）＞55，然后求出兩個時間之差即

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3

-6=

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3

，其實就是持續(xù)的時間，最后和10分鐘比較大小即可．

解答：解：（1）當0＜x≤10時，f（x）=-0.1x²+2.6x+43
為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為x=13
故f（x）的最大值為f（10）=59
當10＜x≤16時，f（x）=59
當x＞16時，f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜59
因此，開講10分鐘后，學(xué)生達到最強接受能力（為59），能維持6分鐘時間．（5分）
（2）f（5）=53.5，f（15）=59
故開講15分鐘時學(xué)生的接受能力比開講5分鐘時要強一些．（8分）
（3）令f（x）=55解得x=6或x=

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3

，
且當6≤x≤

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3

時f（x）≥55
因此學(xué)生達到（含超過）55的接受能力的時間為

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-6=

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＞10
老師能在學(xué)生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題．（12分）

點評：此題學(xué)生容易出錯，原因是學(xué)生把分段函數(shù)定義理解不清，自變量取值不同，函數(shù)解析式不同是分段函數(shù)最顯著的特點．