Question

通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴(lài)于教師引入概念和描述問(wèn)題所用的時(shí)間．講座開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣激增；中間有一段不太長(zhǎng)的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散．分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f（x）表示學(xué)生的接受能力，x表示引入概念和描述問(wèn)題所用的時(shí)間（單位：分鐘），可有以下的公式：
f（x）=

-0.1x2+2.6x+43，0＜x≤10 59，10＜x≤16 -3x+107，16＜x≤30.

（1）開(kāi)講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多長(zhǎng)時(shí)間？
（2）一道數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13分鐘，教師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題？

Answer 1

分析：（1）求學(xué)生的接受能力最強(qiáng)其實(shí)就是要求分段函數(shù)的最大值，方法是分別求出各段的最大值取其最大即可；
（2）令f（x）=55，分段求出x，兩個(gè)時(shí)間之差就是持續(xù)的時(shí)間，最后和13分鐘比較大小即可．

解答：解：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為x=13
故f（x）遞增，最大值為f（10）=59；當(dāng)10＜x≤16時(shí)，f（x）=59；當(dāng)30≥x＞16時(shí)，f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜59，因此，開(kāi)講10分鐘后，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)接受能力（為59），能維持6分鐘時(shí)間．
（2）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，令f（x）=55，解得x=6或x=20（舍去），
當(dāng)16＜x≤30時(shí)，令f（x）=55，解得x=17

1

3

因此學(xué)生達(dá)到（含超過(guò)）55的接受能力的時(shí)間為17

1

3

-6=11

1

3

＜13，
故老師不能在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，考查分段函數(shù)圖象和增減性，此題學(xué)生容易出錯(cuò)，原因是學(xué)生把分段函數(shù)定義理解不清，自變量取值不同，函數(shù)解析式不同是分段函數(shù)最顯著的特點(diǎn)．