Question

(本題滿分12分) 

已知a∈R，函數(shù)f(x)＝4x³－2ax＋a.

（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＋|2－a|>0.

 

Answer 1

【答案】

(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)見(jiàn)解析。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來(lái)判定求解其單調(diào)區(qū)間。

（2）要證明不等式恒成立問(wèn)題，那么要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理即可或者構(gòu)造函數(shù)求解函數(shù)的 最小值大于零得到。

解：

 (1)由題意得f′(x)＝12x²－2a.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞).

當(dāng)a＞0 時(shí)，f′(x)＝12，此時(shí)

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)由于0≤x≤1，故

當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x³－2ax＋2≥4x³－4x＋2.

當(dāng)a＞2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x³＋2a(1－x)－2≥4x³＋4(1－x)－2＝4x³－4x＋2.

設(shè)g(x)＝2x³－2x＋1,0≤x≤1，則g′(x)＝6x²－2＝6，于是

x	0
		-	0	+
	1	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	1

所以g(x)_min＝g＝1－＞0.

所以當(dāng)0≤x≤1時(shí)，2x³－2x＋1＞0.

故f(x)＋|a－2|≥4x³－4x＋2＞0.

考點(diǎn)：本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題中的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含有參數(shù)的二次不等式問(wèn)題的求解是解決導(dǎo)數(shù)中常見(jiàn)的非常重要的，注意對(duì)于開(kāi)口和判別式的情況進(jìn)行分類(lèi)討論得到結(jié)論。