Question

已知四邊形ABCD為菱形，邊長(zhǎng)為1，∠BAD=120°，

AE

=

AD

+t

AB

（其中t∈R且0＜t＜1），則當(dāng)|

AE

|最小時(shí)，

| DE |

| EC |

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：先畫(huà)出圖形，利用向量加法的三角形法則結(jié)合菱形的性質(zhì)，將

AE

=

AD

+t

AB

（其中t∈R且0＜t＜1）轉(zhuǎn)化為

AE

=

AD

+t

DC

（其中其中t∈R且0＜t＜1），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到邊DC的距離最小時(shí)，DE：EC為多少，結(jié)合三角形知識(shí)，問(wèn)題容易解決．

解答： 解：在菱形ABCD中，∵

AB

=

DC

，
∴

AE

=

AD

+t

AB

（其中t∈R且0＜t＜1），
即為

AE

=

AD

+t

DC

（0＜t＜1），
由向量加法的三角形法則可知E點(diǎn)落在線段CD上，
則當(dāng)AE⊥CD時(shí)，|

AE

|最小，
又∵四邊形ABCD為菱形，邊長(zhǎng)為1，∠BAD=120°，
∴△ADC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∴E為△ADC的邊DC的中點(diǎn)，
∴

| DE |

| EC |

=1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)題重點(diǎn)考查向量加法的幾何意義，只要正確畫(huà)出圖形，利用菱形的性質(zhì)將所求的向量合理轉(zhuǎn)化，最后解一個(gè)等邊三角形．此題應(yīng)該不難．