Question

已知n∈N⁺，x∈R，求滿足條件（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1的x的值．

Answer 1

考點：三角方程

專題：三角函數(shù)的求值

分析：解出n=1，2的x的集合．當(dāng)n≥3時，分奇數(shù)偶數(shù)、象限角與象限界角討論即可得出．

解答： 解：①當(dāng)n=1時，（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1化為cosx-sinx=

2

cos(x+

π

4

)=1，即cos(x+

π

4

)=

2

2

，
∴x=2kπ±

π

4

（k∈Z），∴x的取值集合為{x|x=2kπ±

π

4

（k∈Z）}；
②當(dāng)n=2時，（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1化為cos²x-sin²x=cos2x=1，∴x=2kπ（k∈Z），
∴x的取值集合為{x|x=2kπ（k∈Z）}；
③當(dāng)n=3時，（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1化為（cosx-sinx）（cos²x+cosxsinx+sin²x）=1，
當(dāng)x坐標(biāo)軸上的角時，x=2kπ或x=2kπ-

π

2

（k∈Z）滿足題意；
當(dāng)x為第一象限角時，1＞cosx＞0，1＞sinx＞0，則（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ＜1，
（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1不成立，同理為其它象限角時也不成立．
綜上可得：當(dāng)n≥2，且n為奇數(shù)時，x的取值集合為{x|x=2kπ或x=2kπ-

π

2

（k∈Z）}．
④當(dāng)n=4時，（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1化為cos²x-sin²x=cos2x=1，∴x=2kπ（k∈Z），
當(dāng)x坐標(biāo)軸上的角時，x=2kπ（k∈Z）滿足題意；
當(dāng)x為第一象限角時，1＞cosx＞0，1＞sinx＞0，則（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ＜1，
（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1不成立，同理為其它象限角時也不成立．
綜上可得：當(dāng)n≥2，且n為偶數(shù)數(shù)時，x的取值集合為{x|x=2kπ（k∈Z）}．
綜上可得：當(dāng)n=1時，x的取值集合為{x|x=2kπ±

π

4

（k∈Z）}；
當(dāng)n≥2，且n為偶數(shù)時，x的取值集合為{x|x=2kπ（k∈Z）}；
當(dāng)n＞2，且n為奇數(shù)時，x的取值集合為{x|x=2kπ或x=2kπ-

π

2

（k∈Z）}．

點評：本題考查了三角函數(shù)方程的解法、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了觀察推理能力與計算能力，屬于難題．