Question

知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過原點與x軸不重合的直線與橢圓交于A，B二點，且|AF|+|BF|=2

2

，|AB|的最小值為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓x²+y²=

2

3

的任意一條切線l與橢圓E相交于P，Q兩點，

OP

•

OQ

是否為定值？若是，求這個定值；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得2a=2

2

，2b=2，由此能求出橢圓E的方程．
（2）當l的斜率不存在時，

OP

•

OQ

=0．當l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+m，3m²-2k²-2=0，把y=kx+m代入

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韋達定理結合已知條件推導出

OP

•

OQ

=x_Px_Q+y_Py_Q=

3m2-2k2-2

1+2k2

0，從而求出

OP

•

OQ

為定值0．

解答： 解：（1）由|AF|+|BF|=2a=2

2

，得a=

2

，
由|AB|的最小值為2，得2b=2，解得b=1，
∴橢圓E的方程為：

x2

2

+y2=1．
（2）①當l的斜率不存在時，l的方程為x=

6

3

或x=-

6

3

，
∴P（

6

3

，

6

3

），Q（

6

3

，-

6

3

）或P（-

6

3

，

6

3

），Q（-

6

3

，-

6

3

），
∴

OP

•

OQ

=0．
②當l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+m，
則滿足：

|m|

k2+1

=

6

3

，即3m²-2k²-2=0，
把y=kx+m代入

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
xP+xQ=-

4km

1+2k2

，xPxQ=

2m2-2

1+2k2

，
y_Py_Q=（kx_P+m）（kx_Q+m）=

m2-2k2

1+2k2

，
∴

OP

•

OQ

=x_Px_Q+y_Py_Q=

3m2-2k2-2

1+2k2

，
由3m²-2k²-2=0，知

OP

•

OQ

=0，
綜合①②可知

OP

•

OQ

為定值0．

點評：本題考查橢圓方程的求法，解題向量的數(shù)量積是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．