Question

已知向量

m

=(sinωx，cosωx)，

n

=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設(shè)函數(shù)f(x)=

m

•

n

且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后將圖象向下平移

1

2

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上[0，

3π

4

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)的公式可得f（x）=

2

2

sin（2ωx+

π

4

）+

1

2

，由周期可得ω=1，可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，把2x+

π

4

整體放在正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，解不等式可得；（2）由圖象變換的知識(shí)可得g（x）=

2

2

sin（x+

π

4

），由x的取值范圍結(jié)合三角函數(shù)的運(yùn)算可得答案．

解答：解：（1）由題意可得f(x)=

m

•

n

=sinωxcosωx+cos²ωx
=

1

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=

2

2

sin（2ωx+

π

4

）+

1

2

，
∵函數(shù)的周期T=π=

2π

2ω

，∴ω=1，
故f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
解得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z…（6分）
（2）由題意可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，
得函數(shù)y=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

的圖象，再向下g（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）的圖象，
故y=g（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）…（9分）
∵x∈[0，

3π

4

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

．π]，∴sin(x+

π

4

)∈[0，1]…（11分）
∴

2

2

sin(x+

π

4

)∈[0，

2

2

]，即g（x）的取值范圍為[0，

2

2

]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象的變換，屬中檔題．