Question

已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax³-2bx-a+b．若-1≤f（x）≤1對任意x∈[0，1]恒成立，則a+b的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：求導函數(shù)，再分類討論：當b≤0時，當b＞0時，在0≤x≤1上時最大值，然后可證g（x）=-f（x）≤|2a-b|﹢a，由此可知函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a，且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．根據(jù)-1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，可得|2a-b|﹢a≤1，從而利用線性規(guī)劃知識，可求a+b的取值范圍．

解答： 解：對函數(shù)求導可得，f′（x）=12ax²-2b，
①當b≤0時，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此時最大值為：f（1）=3a-b=|2a-b|﹢a；
②當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不定，函數(shù)在[0，1]上的單調(diào)性不定，此時最大值為：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a；
∴函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a；
令g（x）=-4ax³+2bx+a-b，
則g′（x）=-12ax²+2b，
當b≤0時，g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，此時g（x）的最大值為：g（0）=a-b＜3a-b=|2a-b|﹢a；
當b＞0時，g′（x）在0≤x≤1上的正負性不能判斷，g（x）_max=max{g，g（1）}≤|2a-b|﹢a；
∴函數(shù)g（x）在0≤x≤1上的最大值≤|2a-b|﹢a．
即f（x）+|2a-b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．
由以上討論知：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a，且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．
∵-1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，
∴|2a-b|﹢a≤1．
取b為縱軸，a為橫軸，則

2a-b≥0 3a-b≤1 a＞0

或

2a-b＜0 b-a≤1 a＞0

可行域如圖所示，目標函數(shù)為z=a+b．由圖可知，當z=a+b經(jīng)過點A（1，2）時取得最大值3，大當經(jīng)過點C（0，-1）時取得最小值-1，但是C不知可行域內(nèi)

∴a+b的取值范圍為（-1，3]
故答案為：（-1，3]

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值及線性規(guī)劃綜合性，難度大．