某小區(qū)有一塊三角形空地,如圖△ABC,其中AC=180米,BC=90米,∠C=90°,開發(fā)商計劃在這片空地上進(jìn)行綠化和修建運(yùn)動場所,在△ABC內(nèi)的P點(diǎn)處有一服務(wù)站(其大小可忽略不計),開發(fā)商打算在AC邊上選一點(diǎn)D,然后過點(diǎn)P和點(diǎn)D畫一分界線與邊AB相交于點(diǎn)E,在△ADE區(qū)域內(nèi)綠化,在四邊形BCDE區(qū)域內(nèi)修建運(yùn)動場所.現(xiàn)已知點(diǎn)P處的服務(wù)站與AC距離為10米,與BC距離為100米.設(shè)DC=d米,試問d取何值時,運(yùn)動場所面積最大?
分析:解法一:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,得到C、A、B、P、D的坐標(biāo),再寫出直線DE、AB的方程,由此聯(lián)立解出E的坐標(biāo),進(jìn)而表示△ADE的面積,利用基本不等式的知識分析可得答案;
解法二:分別過點(diǎn)P,E作AC的垂線,垂足為Q,F(xiàn),設(shè)EF=h,分情況討論可得EF的長度,進(jìn)而可以表示△ADE的面積,再利用基本不等式的知識分析可得答案.
解答:解:法一:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,
則C(0,0),A(0,180),B(90,0),P(10,100),D(0,d).
DE直線方程:y-100=
d-100
-10
(x-10)
,①
AB所在直線方程為2x+y=180,②
解①、②組成的方程組得,xE=
10d-1800
d-120

∵直線DE經(jīng)過點(diǎn)B時d=
225
2
,
0<d<
225
2
,
S△ADE=
1
2
AD•|xE|=
1
2
•(180-d)•
10d-1800
d-120

設(shè)120-d=t∈(
15
2
,120)
,S△ADE=5•
(60+t)2
t
=5•(t+
3600
t
+120)

t+
3600
t
≥120
(當(dāng)且僅當(dāng)t=60,即k=4時取等號),
此時d=120-t=60,
∴當(dāng)d=60時,綠化面積最小,從而運(yùn)動區(qū)域面積最大.
法二:如圖,分別過點(diǎn)P,E作AC的垂線,垂足為Q,F(xiàn),設(shè)EF=h,
若如圖1所示,則PQ=10,CQ=100,DQ=100-d,
由△AFE~△ACB得
AF
180
=
h
90
,即AF=2h,從而CF=180-2h,DF=180-2h-d,
由△DPQ~△DEF得
10
h
=
100-d
180-2h-d
,解得h=
1800-10d
120-d

若如圖2所示,則PQ=10,CQ=100,DQ=d-100,AF=2h,CF=180-2h,DF=2h+d-180,由△DPQ~△DEF得
10
h
=
100-d
180-2h-d
,
解得h=
1800-10d
120-d
;
由0<h<90得0<d<
225
2
,
S△ADE=
1
2
AD•h=
1
2
•(180-d)•
10d-1800
d-120
,
設(shè)120-d=t∈(
15
2
,120)

S△ADE=5•
(60+t)2
t
=5•(t+
3600
t
+120)
,
t+
3600
t
≥120
(當(dāng)且僅當(dāng)t=60,即k=4時取等號),
此時d=120-t=60,
∴當(dāng)d=60時,綠化面積最小,從而運(yùn)動區(qū)域面積最大.
點(diǎn)評:本題考查基本不等式的應(yīng)用,關(guān)鍵是根據(jù)題意,建立正確的模型,得到關(guān)于關(guān)于三角形面積的不等關(guān)系式.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•上海)如圖,某校有一塊形如直角三角形ABC的空地,其中∠B為直角,AB長40米,BC長50米,現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房,其占地形狀為矩形,且B為矩形的一個頂點(diǎn),求該健身房的最大占地面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,某校有一塊形如直角三角形ABC的空地,其中∠B為直角,AB長40米,BC長50米,現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房,其占地形狀為矩形,且B為矩形的一個頂點(diǎn),求該健身房的最大占地面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,某校有一塊形如直角三角形的空地,其中為直角,米, 米,現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房,其占地形狀為矩形,且為矩形的一個頂點(diǎn),求該健身房的最大占地面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,某校有一塊形如直角三角形ABC的空地,其中∠B為直角,AB長40米,BC長50米,現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房,其占地形狀為矩形,且B為矩形的一個頂點(diǎn),求該健身房的最大占地面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案