Question

已知函數f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）試寫出一個函數g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,兩角和與差的正弦函數,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）把函數解析式提取

2

后利用兩角和的正弦化積，然后直接取x=

π

12

求得f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）由二倍角的余弦公式可知g（x）=cosx-sinx，化積后利用余弦型復合函數的單調性求函數g（x）的單調區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴f(

π

12

)=

2

sin(

π

12

+

π

4

)=

2

sin

π

3

=

6

2

；
（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．
下面給出證明：
∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x，
∴g（x）=cosx-sinx符合要求．
又∵g（x）=cosx-sinx=

2

cos(x+

π

4

)，
由2kπ+π＜x+

π

4

＜2kπ+2π，得2kπ+

3π

4

＜x＜2kπ+

7π

4

，
∴g（x）的單調遞增區(qū)間為(2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

)，k∈Z．
又由2kπ＜x+

π

4

＜2kπ+π，得2kπ-

π

4

＜x＜2kπ+

3π

4

，
∴g（x）的單調遞減區(qū)間為(2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

)，k∈Z．

點評：本小題主要考查三角函數的圖象與性質、兩角和與差三角公式、二倍角公式、三角函數的恒等變換等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想等．是中檔題．