Question

【題目】已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．現(xiàn)有下列命題：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（ ）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正確命題的序號是（ ）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），
∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正確；
f（ ）=ln（1+ ）﹣ln（1﹣ ）=ln（ ）﹣ln（ ）=ln（ ）=ln[（ ）2]=2ln（ ）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正確；
當x∈[0，1）時，|f（x）|≥2|x|f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））
∵g′（x）= + ﹣2= ≥0，∴g（x）在[0，1）單調(diào)遞增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）與y=2x為奇函數(shù)，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正確；
故正確的命題有①②③，
故選：A
【考點精析】通過靈活運用命題的真假判斷與應用，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系即可以解答此題．