Question

設(shè)a＞0且a≠1，函數(shù)y=a^2x+2a^x+1在[-1，1]的最大值是14，求a的值．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=a^x（a＞0，a≠1），則原函數(shù)化為y=t²+2t-1=（t+1）²-2（t＞0），分類①當(dāng)0＜a＜1時，②當(dāng)a＞1時，利用單調(diào)性求解即可．

解答： 解：令t=a^x（a＞0，a≠1），則原函數(shù)化為y=t²+2t-1=（t+1）²-2（t＞0）
①當(dāng)0＜a＜1時，x∈[-1，1]，t=a^x∈[a，

1

a

]，
此時f（x）在[a，

1

a

]上為增函數(shù)，所以f（x）_max=f（

1

a

）=（

1

a

+1）²-2=1     
所以a=-

1

5

（舍去）或a=

1

3

，
，x∈[-1，1]，t=a^x∈[a，

1

a

]，此時f（t）在[

1

a

，a]上為增函數(shù)，所以f（x）_max=f（a）=（a+1）²-2=14，
所以a=-5（舍去）或a=3，
綜上a=

1

3

或a=3．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，難度較大，屬于中檔題，注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的運用．