Question

設(shè)λ∈R，f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos²（

π

2

-x）滿足f（-

π

3

）=f（0）．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c且

cosA

cosB

=-

a

b+2c

，求f（x）在（0，A]上的值域．

Answer 1

分析：（1）依題意，f（-

π

3

）=f（0）⇒λ=2

3

，從而可求得f（x）=2sin（2x-

π

6

），利用正弦函數(shù)的對稱軸方程可求得函數(shù)f（x）的對稱軸，繼而可得其單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）利用正弦定理，可將條件變形為sin（A+B）=-2cosAsinC，可求得A=

2π

3

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得f（x）在（0，A]上的值域．

解答：解：（1）f（x）=λsinxcosx-cos²x+sin²x
=

1

2

λsin2x-cos2x，
∵f（-

π

3

）=f（0），
∴λ=2

3

…3分
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

），
對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

3

（x∈Z），…5分
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）…7分
（2）∵

cosA

cosB

=-

a

b+2c

，由正弦定理，可變形為：sin（A+B）=-2cosAsinC，
∴cosA=-

1

2

，
∴A=

2π

3

------------（10分）
∴x∈（0，

2π

3

]，
∴f（x）∈[-1，2]---------------（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的對稱軸方程、單調(diào)性及正弦定理，屬于中檔題．