Question

【題目】如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.

（l）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】分析：

(1)根據(jù)橢經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為，結(jié)合性質(zhì) ，，列出關(guān)于 、 的方程組，求出 、 ，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理可得，所以點(diǎn)在直線上，又點(diǎn)也在直線上，進(jìn)而得結(jié)果.

詳解：

（1）因?yàn)辄c(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為，

所以，解得.

又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.

所以.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

證明：（2）因?yàn)榫�段的中垂線的斜率為，

所以直線的斜率為-2.

所以可設(shè)直線的方程為.

據(jù)得.

設(shè)點(diǎn)，，.

所以， .

所以，.

因?yàn)?/span>，所以.

所以點(diǎn)在直線上.

又點(diǎn)，也在直線上，

所以三點(diǎn)共線.