【題目】如圖,已知橢圓: 的離心率為, 為橢圓的右焦點, , .
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)為原點, 為橢圓上一點, 的中點為,直線與直線交于點,過作,交直線于點,求證: .
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(1)由題中條件要得兩個等式,再由橢圓中的等式關(guān)系可得的值,求得橢圓的方程;
(2)可設(shè)直線的方程,聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系得,所以直線的方程是 .令,得, 得直線的斜率是 ,問題得解.
試題解析:
(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為.依題意,得, .
解得 , .所以 ,所以橢圓的方程是 .
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得 .設(shè)的中點, .
設(shè)直線的方程為: ,將其代入橢圓方程,整理得
,所以 .所以 , ,
即 .所以直線的斜率是 ,
所以直線的方程是 .令,得.
由,得直線的斜率是 ,
因為,所以直線的斜率為,所以直線.
解法二:由(Ⅰ)得 .設(shè),其中.
因為的中點為,所以 .所以直線的斜率是 ,所以直線的方程是 .令,得.
由,得直線的斜率是 .因為直線的斜率是 ,所以 ,所以 .因為 ,所以 .
點晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想,另一方面要結(jié)合已知條件,從圖形角度求解.聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個常用的方法. 涉及弦長的問題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計算弦長;涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算;涉及過焦點的弦的問題,可考慮用圓錐曲線的定義求解.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為梯形, , 平面, , , , 為中點.
(1)求證:平面平面;
(2)線段上是否存在一點,使平面?若有,請找出具體位置,并進行證明:若無,請分析說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實數(shù),滿足,則稱為“局部奇函數(shù)”.
(1)已知二次函數(shù),試判斷是否為“局部奇函數(shù)”?并說明理由;
(2)若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若為定義域上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍;
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了估計某自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量,可以使用以下方法:先從該保護區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝,例如200只,給每只天鵝做上不影響其存活的記號,然后放回保護區(qū),經(jīng)過適當?shù)臅r間,讓其和保護區(qū)中其余的天鵝充分混合,再從保護區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝,例如150只,查看其中有記號的天鵝,設(shè)有20只,試根據(jù)上述數(shù)據(jù),估計該自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn), 兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)類產(chǎn)品5件和類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)類產(chǎn)品6件和類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費為300元,設(shè)備乙每天的租賃費為400元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)類產(chǎn)品50件, 類產(chǎn)品140件,則所需租賃費最少為__________元.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓: 的離心率為, 為橢圓的右焦點, , .
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)為原點, 為橢圓上一點, 的中點為,直線與直線交于點,過作,交直線于點,求證: .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】媒體為調(diào)查喜歡娛樂節(jié)目是否與性格外向有關(guān),隨機抽取了400名性格外向的和400名性格內(nèi)向的居民,抽查結(jié)果用等高條形圖表示如下圖:
(1)填寫完整如下列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗,能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜歡娛樂節(jié)目與性格外向有關(guān)?
參考數(shù)據(jù)及公式:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了分析某個高三學生的學習狀態(tài),對其下一階段的學習提供指導性建議.現(xiàn)對他前次考試的數(shù)學成績、物理成績進行分析.下面是該生次考試的成績.
數(shù)學 | 108 | 103 | 137 | 112 | 128 | 120 | 132 |
物理 | 74 | 71 | 88 | 76 | 84 | 81 | 86 |
(Ⅰ)他的數(shù)學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定?請給出你的說明;
(Ⅱ)已知該生的物理成績與數(shù)學成績是線性相關(guān)的,求物理成績與數(shù)學成績的回歸直線方程
(Ⅲ)若該生的物理成績達到90分,請你估計他的數(shù)學成績大約是多少?
(附: )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知(, )展開式的前三項的二項式系數(shù)之和為16,所有項的系數(shù)之和為1.
(1)求和的值;
(2)展開式中是否存在常數(shù)項?若有,求出常數(shù)項;若沒有,請說明理由;
(3)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com