Question

設函數f(x)＝ex－ax－2.

(1)求f(x)的單調區(qū)間；

(2)若a＝1，k為整數，且當x>0時，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

 

Answer 1

（1）f(x)在(－∞，ln a)上單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增．

（2）2

【解析】(1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.

若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增．

若a>0，則當x∈(－∞，ln a)時，f′(x)<0；

當x∈(ln a，＋∞)時，f′(x)>0.

所以，f(x)在(－∞，ln a)上單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增．

(2)由于a＝1時，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.

故當x>0時，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價于

k<＋x(x>0) ①

令g(x)＝＋x，則g′(x)＝＋1＝.

由(1)知，函數h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上單調遞增，

又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－4>0.

所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零點．

故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零點．

設此零點為α，則α∈(1,2)．

當x∈(0，α)時，g′(x)<0；當x∈(α，＋∞)時，g′(x)>0，

所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(α)．

又由g′(α)＝0，得eα＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．

由于①式等價于k<g(α)，

故整數k的最大值為2.