Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，且S_n+2=a_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）求數(shù)列{（2n-1）a_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁+2=a₂，a₁+a₂+2=a₃，從而a₃=2a₂，a₁=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出數(shù)列{（2n-1）a_n}的前n項的和S_n．

解答： 解：（1）由已知：當n=1時，a₁+2=a₂①
當n=2時，a₁+a₂+2=a₃②
②-①得a₃=2a₂所以公比q=2且a₂=2a₁③
③代人①解得a₁=2
所以an=2•2n-1=2n
（2）∵（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
同乘公比2得2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②，
①-②，得：-T_n=2+2（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×

4(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=-6-2（2n-3）×2ⁿ⁺¹，
∴Tn=6+(2n-3)×2n+1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．